Яшар Бабаев родился 21 апреля 1941 г. в городе Гянджа, в семье железнодорожника. По окончании 7-го класса Яшар поступил в профессионально-техническое училище, и окончил его по специальности «Электромонтёр». Его отец, работающий в котельной, не воспринимал футбол как серьёзную профессию, однако Яшар проводил большую часть своего времени за любимым видом спорта. Своей превосходной игрой в команде «Локомотив» профессионально-технического училища он привлёк внимание клуба «Тохуджу». В 1960 г. по приглашению главного тренера Валентина Хлыстова левоногий защитник перешёл в гянджинскую команду, и стал одним из её ведущих членов. Гянджинский клуб, позднее названный «Динамо», в 1962 г. совершил сенсацию, победив в матче 1/8 финала кубка СССР со счётом 2:1 киевское «Динамо», в составе которого выступали такие звёзды, как Йожеф Сабо, Андрей Биба и Валерий Лобановский. После этого матча, состоявшегося 10 июля в Гяндже при 30 тысячах зрителей, главный тренер киевлян Вячеслав Соловьёв пригласил Бабаева в свою команду, но тот отказался от этого предложения. А предложение перейти в «Нефтяник», поступившее 15 марта 1962 г., он принял сразу. В 1963 г. он впервые вышел на поле в чёрно-белой форме в официальном матче, и на первой же минуте футболист «Кайрата», воспользовавшись ошибкой Яшара, открыл счёт. Однако, наша команда победила в том матче со счётом 2:1. Несмотря на ошибку в первом матче, защитник левого фланга, ставший в скором времени игроком основного состава, вышел на поле в том сезоне в 19 матчах. Наряду с неимоверной скоростью и превосходной техникой, Яшар обладал и великолепными пасами. За умение видеть игру товарищи по команде называли его «профессором».

В чемпионате СССР 1966 года команда заняла третье место, и Яшар Бабаев внёс значимый вклад в этот успех. Он вышел на поле в 20 матчах под номером «4», и стал одним из 12 футболистов, завоевавших бронзовую медаль. После этого Бабаев вышел на поле в черно-белой форме ещё в 5 сезонах, и в целом, за 9 сезонов в составе «Нефтчи» провёл 219 матчей.

По завершении карьеры футболиста, в 1972 г. Яшар Бабаев начал работать на базе «Нефтчи». Он занимал пост директора базы до 1982 г., а затем был назначен сначала тренером, а позднее – директором специализированной футбольной школы в Главном управлении образования. Начиная с 1998 г. он некоторое время преподавал в кафедре футбола Азербайджанской Академии Физкультуры и Спорта.

Бронзовая медаль, завоёванная Яшаром Бабаевым в 1966 г., утеряна; однако, по его словам, главное – не медаль, а увековечивание своего имени в памяти народа. Легенда нашего футбола будет вечно жить в памяти семьи «Нефтчи».